Rekenen in de middeleeuwen.

De abacus: een middeleeuws telraam.

Het is nu even wennen, maar er zijn behoorlijk ingewikkelde sommen mee te maken. Oorspronkelijk werden gewone munten gebruikt, maar al snel werden hiervoor speciale sets penningen geslagen, de zogenaamde rekenpenningen. De zes rekenpenningen in de collectie van het Rijksmuseum van Oudheden zijn echte 'schoolpenningen', gebruikt voor het leren rekenen op school: op de ene zijde staat een alfabet, terwijl op de andere zijde een 'rekenmeester' achter een abacus is afgebeeld. Rond 1970 komt de abacus in moderne uitvoering terug op de lagere scholen. Het principe is echter gelijk aan de werking van de abacus in de middeleeuwen. Verderop kom ik daar op terug.

Willem Bartjens (1569-1638)

Willem Bartjens werd in 1569 te Amsterdam geboren als zoon van Gerrit Bartjens, die tussen 1565 en 1569 van het Duitse Xanten naar Amsterdam verhuisde. Hij trouwde in 1592 te Amsterdam met Maritgen Jansdochter en uit dit huwelijk werden vijf jongens geboren. Bartjens overleed omstreeks 24 juni 1638 te Zwolle. Bartjens was één van de bekendste schoolmeesters uit de zeventiende eeuw, die een voor zijn tijd volledig nieuwe rekenmethode ontwikkelde. Nog steeds gebruikt men de uitdrukking 'volgens Bartjens' in de betekenis van 'volgens de eenvoudige regels der rekenkunde'.

In de periode van 1591 tot 1618 was Bartjens hoofd van een Amsterdamse school. Reeds toen was hij een schoolmeester van naam, wiens onderwijs in het rekenen en de Franse taal grote faam had. In 1604 schreef hij in Amsterdam de eerste versie van zijn beroemde rekenmethode onder de titel:

“De Cyfferinge van Willem Bartjens Amstelredammer, inhoudende meest alle de Grondregelen der Cypherkonst. Seer nut en dienstelyck den Leerlingen ende alle liefhebberen der Konst.”

Dit rekenboek werd talloze malen herdrukt en is op de Nederlandse scholen eeuwenlang de leidraad bij het rekenonderwijs geweest. Behalve met lesgeven hield Bartjens zich bezig met letterkunde. Hij was bevriend met bekende dichters als Carel van Mander en Joost van den Vondel en met de beroemde uitgever, drukker en graveur Zacharias Heyns. Bartjens illustreerde zijn rekenboek met gedichten, meestal lofzangen, van zichzelf en zijn vrienden. Zo vinden wij in de Cyfferinge bij voorbeeld een lofzang van Vondel op Willem Bartjens die eindigt met de volgende woorden:

'Adieu Bartiens, ick wil zwijghen. Wijl ghij gaet ten Hemel stijghen 'k Wenschte dat ick hier in schijn Slechts mocht uwen Echo zijn'. Op 7 maart 1618 werd Bartjens door de magistraat van Zwolle aangesteld als meester van de Franse school 'om kinderen te leren die francoyse spraecke, voorts lesen, schryven, reeckenen en boekholden, mitsgaders dat ook zyn huys-vrouwe den jongen dochteren leren sal allerley hantwerken, van neyen, speltwercken en anders daertoe behoorende'. Als schoolmeester verdiende hij driehonderd carolusgulden per jaar. Bovendien kreeg hij vrije inwoning in het Rijke Frater-huis (nu Praubstraat 14), dat sinds 1592 dienst deed als school en schoolmeesterswoning. Het is niet bekend waarom het Zwolse stadsbestuur juist Bartjens benaderde voor de post van schoolhoofd. Wellicht was hij aanbevolen door zijn vriend Heyns, die in 1605 naar Zwolle was gegaan en er drukker van de Staten van Overijssel was geworden. Dat Zacharias Heyns en Willem Bartjens inderdaad goede vrienden waren blijkt ook uit het huwelijk van Johannes Bartjens, zoon van Willem Bartjens, met Catharina Heyns, dochter van Zacharias Heyns.

Over hoe het de schoolmeester en zijn vrouw in Zwolle verging, is weinig bekend. Op 23 oktober 1618 verkreeg hij het Zwolse burgerrecht en in de kameraarsrekeningen van de stad wordt hij vermeld als leverancier van schrijfbehoeften aan het stadsbestuur. Het is waarschijnlijk dat Bartjens heeft meegewerkt aan de groeiende culturele invloed van Holland in Zwolle. Door zijn Amsterdamse afkomst week zijn taal, ook tijdens de les, nogal af van het Zwolse dialect dat doorspekt was met Duitse uitdrukkingen

In Zwolle schreef Bartjens een nieuwe versie van zijn rekenboek. Van de eerste versie verschenen geregeld herdrukken met medeweten van de schrijver; daarnaast kwamen er incidenteel minderwaardige herdrukken uit, waaraan Bartjens zich bijzonder ergerde. Om aan deze praktijken een einde te maken besloot hij zijn rekenboek te herzien en aan de overheid te vragen nadruk hiervan te beletten. In 1636 verscheen in Zwolle de Vernieuwde Cyfferinge, gedrukt door Bartjens zoon Geraert. In 1637 verscheen een tweede deel, van grotere omvang, met als titel Het Tweede deel de Cyfferinge, handelend van verscheyde Regulen der Rekenkonst, alle kooplieden noodich te weten. Dit tweede deel heeft lang niet het succes gekend dat het eerste ten deel is gevallen hoewel het ook tal van keren herdrukt is.

In de Vernieuwde Cyfferinge vinden we diverse opgaven die zijn ontleend aan situaties uit het dagelijkse leven van Zwolle en omgeving. Een voorbeeld: 'Een Mastebroecker heeft 3 dochteren, die sent hy Zwol ter merckt, elck met een onge-seyde verscheyde menichte Entvogels, belast hen dat sy niet meer als 9 stuckx voor gull. sullen verkopen, ende even veel gelds sullen ontfangen: De vrage is hoeveel Vogels elck ghe-hadt heeft, ende hoeveel geldts hem 't huys gebrocht word? Antw: 30, 56, 82 elck 12 ggull.'. Ook vinden we in dit rekenboek tal van sommen die betrekking hebben op de handel van zogenaamde factoors. Dat waren kooplui die in Zwolle een zeer winstgevende handel in koloniale waren bedreven. Na zijn dood werd duidelijk welk een verlies Zwolle had geleden. In tegenstelling tot het onderwijs op de Latijnse school waar ds. Schuttenius de scepter zwaaide, kon het onderwijs op de 'gewone' school van Bartjens niet op een behoorlijk peil worden gehouden, omdat het stadsbestuur er niet in slaagde een goede opvolger te vinden. Er is nooit een monument voor Bartjens opgericht; toch bleef zijn naam eeuwenlang voortleven. Zijn rekenmethode bleek pedagogisch gezien zo voortreffelijk te zijn, dat zij tot in de negentiende eeuw op Nederlandse scholen werd gebruikt. De laatstbekende uitgave werd verzorgd door de vermaarde opvoeder P.K. Görlitz. Deze heeft het boek geheel omgewerkt en in twee delen uitgegeven in 1848 en 1851 onder de titel Willem Bartjens Rekenkunst, vervangen door eene andere, ingerigt naar het nieuwe stelsel van Maten en Gewigten enz, meer overeenkomstig de tegenwoordige behoefte van het lager onderwijs.

G. Buist

Uit: Overijsselse Biografieën

Het rekenonderwijs na 1806

De procedurele richting versus de conceptuele richting in het reken-onderwijs.

In de geschiedenis van het rekenonderwijs maken we onderscheid tussen werktuiglijk versus inzichtelijk rekenen, internationaal aangeduid als de procedurele en de conceptuele richtingen in het rekenonderwijs. De geschiedenis van de rekenboeken laat zien, dat er in de 19e en 20e eeuw een hoge waardering was voor het procedurele rekenen. Dit betekent, dat er een hoge waardering was voor het cijferen. Sommige methodes uit de 20e eeuw besteedden aan de procedures van het 'lange ' optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met hele getallen en kommagetallen niet minder dan 400 lesuren, ofwewl twee volle schooljaren. Ook in het grootste deel van de 19e eeuw stond het rekenen voornamelijk in het teken van het inslijpen van de standaardprocedures. Cijkferen werd toen niet alleen gewaardeerd om zijn praktische betekenis maar het had, zo meende men, ook een zekere vormende waarde vanwege het beroep dat daarin op netheid, concentratievermogen en precisie wordt gedaan. Het conceptuele rekenen, dat aan het eind van de 20e eeuw echt doorbrak, is meer gericht op inzicht, zelf sommen maken en 'handig rekenen', waarbij het cijferen niet meer allesoverheersend is

Bron: "Weg van het cijferen" door A. Treffers.

Anslijn en Hemkes

Het boek van Bartjens, Cyfferinghe, is tot in de 19e eeuw bewerkt en herdrukt. Dit boekje bevatte de gewone rekenkundige bewerkingen en vrij ingewikkelde opgaven. Rekenen was een vak dat alleen in de hoogste klassen onderwezen werd en dat men vooral van belang vond voor jongelui die in de handel zouden gaan. Pas na de invoering van het klassikale onderwijs in het begin van de 19e eeuw kwamen er grote telramen voor klassikaal gebruik. De school kreeg ook een taak bij de invoering van het metriek stelsel (1816), dat een einde maakte aan de vaak verschillende stelsels van maten en gewichten. Zo deden inhoudsmaten voor natte waren, rijtjes met gewichten, meetlatten en overzichten van het metriek stelsel hun intrede in de school. Rekenen werd in 1806 bovendien een vak dat men voor alle kinderen van belang vond en dat in alle klassen aan bod moest komen. De oude methode van Bartjens had zijn tijd gehad. Bekende auteurs als Anslijn en Hemkes sprongen daarop in.

Nicolaas Anslijn Nzn.

Ook aan het begin van het volgende hoofdstuk over de ‘zamen-telling’ staat vooraf zo’n verwijzing naar de onderwijzer. Dan volgen 6 vraagstukken over het optellen van getallen tot tien, honderd en duizend, en 25 uitvoerige redactieopgaven over het optellen van geldbedragen. Na de sommen over het tellen, optellen, vermenigvuldigen, aftrekken en delen komt er nog een paragraaf met 500 gemengde vraagstukken over hele getallen en tiendelige breuken.
De toepassingen in het tweede boekje hebben voornamelijk betrekking op het omzetten van decimale maten van lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en van munten. Het derde boekje behandelt, na een inleiding over deelbaarheidskenmerken, de regel van drieën:

(a : b = c : x => a.x = b.c => x = b.c : a )

die door Anslijn als volgt wordt omschreven: ‘In alle meetkundige evenredigheden is het vermenigvuldigde der beide uiterste termen gelijk aan dat der beide middelste termen. Daarna krijgen de kinderen tientallen tekstopgaven, die d.m.v. de regel van drieën moeten worden opgelost.

Voorbeeld: Eene vrouwe, die een kousenwinkel doet, verkoopt 12 paar kousen voor 1 gulden en 1 halve cent het paar. Zoudt gij kunnen uitrekenen hoe veel gulden zij ontvangen moet?

Oplossing: 1 : 4 = 8 : x en 1 : 100 ½ = 12 : x (x = 12,06)

Klik hier om deel 1 van het 'Rekenboek voor meisjes' door te kunnen bladeren.

Het boek “Eerste beginselen der Rekenkunde” beoogt de basis voor het praktische rekenen te leggen. Via een vraag- en antwoordspel worden de cijferprocedures van het rekenen met hele getallen en tiendelige breuken inzichtelijk verklaard. Bij het delen (bv. 7645 : 5) komt als eerste de kolomdeling aan bod, gevolgd door de verkorting ervan tot de bekende staartdeling. Hier blijkt, dat de kolomdeling d.m.v. herhaald aftrekken niet pas geïntroduceerd is bij het realistische rekenen aan het eind van de 20e eeuw, maar al veel langer bekend was. Ook Hemkes, zullen we later zien, hanteert deze kolomdeling.
Voor welke leerlingen het door Anslijn bewerkte boek van Brunt bestemd is, blijft met de verwijzing ‘ten dienste der scholen’ onduidelijk. In ieder geval zouden de (hulp)onderwijzers er hun voordeel mee kunnen doen bij de bordlessen over het cijferen in de eerste vier leerjaren.

H. Hemkes (1807 - 1889)

(Hieronder kunt u het boekje aanklikken) De aanpak van Hemkes is deels vernieuwend en deels traditi-oneel. Vernieuwend omdat hij eenvoud beoogde en beperking van de omvang. Waarschijnlijk zette hij zich af tegen de ingewikkelde sommen uit het rekenboekje van Willem Bartjens uit 1604, dat op vele scholen tot in de 19e eeuw dienst deed. Daartegenover staat, dat de didaktische opbouw nagenoeg ontbrak en de auteur te grote sprongen maakte. Zo confronteerde hij al op de derde pagina kinderen met opgaven als: "spreek uit 362789 of schrijf op in getallen: vijf honderd drie en veertig duizend acht honderd vier en twintig". Een voorbeeld van een opgave:

"Vermenigvuldig 36 duizend 4 honderd 6 en veertig met 2, de uitkomst weer met 4 en deze laatste uitkomst nog eens met 5".

In de lagere klassen werd het rekenonderwijs klassikaal gegeven met behulp van het schoolbord, de lei en enkele leermiddelen, waaronder het telraam. Hemkes voegde met zijn rekenplank een nieuw leermiddel toe. Dat bestond uit een klassikale plank en kleinere identieke plankjes voor de kinderen afzonderlijk. Daarmee konden kinderen de elementaire bewerkingen van de getallen tot twintig leren. Hemkes rekenboekjes zijn gedurende 50 jaar vele malen herdrukt. Zo verscheen van De kleine rekenaar in 1876 nog de vijftiende druk. De boekjes waren niet voorzien van een handleiding. De schrijver volstond - hetgeen toen gebruikelijk was - met een kort voorwoord in elk boekje. Het rekenonderwijs werd lange tijd gegeven op basis van mondelinge aanwijzingen van het hoofd der school, die meestal met meerdere onderwijzers in een groot lokaal werkzaam was. Het aanschouwelijk rekenonderwijs, waarvoor Pestalozzi al pleitte aan het eind der 18e eeuw, was nog ver te zoeken. Als vervolg op "De Kleine Rekenaar" schreef Hemkes ook "De Kleine Rekenmeester - of gemakkelijk Rekenboekje voor meergevorderden

Rekenplank van Hemkes.

=>Klik hier om het eerste deeltje van "De Kleine Rekenaar" door te kunnen bladeren

=>Klik hier om hetderdedeeltje van "De Kleine Rekenmeester" door te kunnen bladeren

A.L. Boeser.

Boeser heeft hier een punt: als toepassingsopgaven (vraagstukjes) in een bepaalde rubriek van bv. vermenigvuldigen zijn geplaatst, weten de leerlingen automatisch dat ze de oplossing ervan via vermenigvuldigen kunnen vinden. In het rekenboekje van Boeser komen dus uitsluitend gemengde opgaven voor. De bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen dienen al eerder via klassikaal rekenen op het schoolbord te worden ingeoefend.
Na het eerste rekenboekje volgen nog vier deeltjes, resp. over tiendelige breuken, gewone breuken, de regel van drieën, procenten- en mengingrekening. De opgaven zijn echter niet of nauwelijks geordend naar moeilijkheidgraad. Dat wil zeggen: er ontbreekt nog een didaktische opbouw.

=> Klik hier om het “Eerste rekenboekje” door te kunnen bladeren.

L. Bouman

=>Klik hier om het 'Tweede Rekenboekje', dat hierboven beschreven staat, door te bladeren

B. Brugsma *

=>Klik hier om het boekje "Allereerste oefeningen ...." door te kunnen bladeren.

*) B. Brugsma was directeur van de Rijkskweekschool te Groningen en later schoolopziener.

R.R. Rijkens *

=>Klik hier om de" Handleiding voor het rekenen uit het hoofd.." door te bladeren.

*) R.R. Rijkens was leraar aan de Rijkskweekschool te Groningen.

Omslag van het rekenonderwijs na 1875

We willen hier de tussenstand opmaken in de ontwikkeling van het rekenonderwijs. Eerst kijken we terug op de periode 1800 - 1875 en vervolgens blikken we vooruit naar de periode 1875 - 1900.

Periode 1800 - 1875

Kenmerken van het rekenonderwijs in deze periode zijn:

• De rekenboekjes waren, zoals gezegd, bestemd voor de bovenbouw van de lagere school. Daaraan voorafgaand werden de basisvaardigheden en het cijferen via bordrekenen onderwezen.
• De leerboeken verschilden in de mate van de aandacht die aan kale rekensommen werd besteed. Ook de wijze waarop toepassingsopgaven werden samengesteld, gerubriceerd en geformuleerd, was niet eensluidend.
• De opgaven voor de hogere leerjaren waren veel te moeilijk. Zij gaven toepassingen van ’t rekenen in zogenaamde redactiesommen. Vaak wisten de kinderen niet, welke bewerkingen er gevraagd werden en moest de leerkracht vaak de oplossing voorzeggen en voordoen.
• Er was nauwelijks of geen didaktische opbouw in de stof; er werd niet in kleine stappen naar een hoger niveau toegewerkt.
• De ‘regel van drieën’ dook bij herhaling in de rekenboeken op. Deze regel was te moeilijk en zou later door inzichtelijker werkwijzen worden vervangen.
• Er werd weinig aandacht aan hoofdrekenen geschonken. Cijferen bleef het onderwijs domineren.

Periode 1875 - 1900

De rekenmethodes na 1875 hebben de volgende algemene kenmerken. Deze kenmerken van het nieuwe rekenonderwijs hebben achtereenvolgens betrekking op:

- het klassikaal onderwijs;
- de heuristische methode;
- de concentrische opbouw;
- de aanschouwelijke grondslag;
- het veelvormige hoofdrekenen;
- het inzichtelijk cijferen;
- de aard en functie van de opgaven;
- de stapsgewijze opbouw van de leergangen.

• Het klassikaal onderwijs.

De didactische omwenteling die zich tegen het einde van de 19e eeuw voltrekt, kenmerkt zich wat de vormgeving betreft door het feit dat het onderwijs geleidelijk meer klassikaal wordt ingericht. De voordelen van deze nieuwe opzet van de lessen ten opzichte van het tot dan gangbare hoofdelijke rekenonderwijs in de hoogste klassen zijn de volgende:

• De onderwijzer kan nu beter de vorderingen der gehele klas overzien en de leemten, die hij ontdekt, aanvullen.

• De ambitie der leerlingen is groter
• De hele klas kan profiteren van het inzicht en de opmerkingen van individuele leerlingen, die de onderwijzer losmaakt d.m.v. het geven van beurten.
• De hele klas kan profiteren van correcties die de onderwijzer bij leerlingen aanbrengt, die de stof niet begrijpen.
Dat de klassikale aanpak steeds meer mogelijk werd, kwam mede door de beschikbaarheid van rekenboeken en handleidingen voor de lagere school.

• De heuristische methode.

Het overwegend werktuiglijke rekenonderwijs maakt plaats voor op inzicht gerichte, zelfzoekende methoden onder strakke leiding van de onderwijzer. Tot omstreeks 1880 was het rekenonderwijs overwegend machinaal opgezet. In de eerste leerjaren werd de nodige tafelkennis van de basisbewerkingen opgedaan ten einde de cijferprocedures te kunnen leren die in het derde en vierde leerjaar centraal staan. De tafels werden rechttoe rechtaan opgezegd zonder dat er voorafgaand aandacht aan de vermenigvuldigoperatie werd besteed en zonder dat van allerlei handige relaties gebruik werd gemaakt. Versluys daarentegen kiest nadrukkelijk voor een geleidelijke en inzichtelijke opbouw van de tafels. Na vermenig-vuldiging als herhaald optellen, volgt verkorting via de ‘natuurlijke’ rekenwijzen van kinderen:

- halveren: 5 x 7 is de helft van 10 x 7
- benutten vijf- en tienstructuur: 9 x 7 = 10 x 7 – 7 en 6 x 7 = 5 x 7 + 7
- rekenstrategieën als verwisseling: 5 x 7 = 7 x 5
- rekenstrategieën als splitsen: 7 x 6 = 7 x 5 + 7 en 7 x 6 = 6 x 6 + 6

• De concentrische opbouw.

In de methodes vóór 1875 werd bij tellen, optellen, vermenigvuldigen en delen iedere bewerking eerst met kleine en vervolgens met grotere hele getallen behandeld, voordat de volgende bewerking aan de orde werd gesteld. Versluys verdeelt de leerstof rchter in kringen (of trappen) van achtereenvolgens de getallen tot 20, tot 100, tot 1000 en verder, en stelt daarin vanaf het begin elke basisbewerking aan de orde. In de eerste kring van de gehele getallen tot 20 gaat hij zelfs nog een stap verder door ieder opeenvolgend getal via de vier basisoperaties te ‘ontbinden’., de zgn. monografische aanpak, die hij overnam van de Duitse rekendidacticus Grube. (zie “Allereerste oefeningen in het rekenen voor jonge kinderen’ van B. Brugsma). De concentrische opbouw paste geheel in het klassikaal onderwijs en hield rekening met het niveau van de leerlingen in de opéénvolgende jaarklassen

• De aanschouwelijke grondslag.

Onder invloed van Pestalozzi en Herbart werd de aanschouwelijkheid belangrijk in het onderwijs. De volgorde van aanbieding was

- het rekenen met aanwezige voorwerpen
- het rekenen met afwezige voorwerpen
- het rekenen met onbenoemde getallen

De aanschouwelijke grondslag wordt, wat de hele getallen betreft, vooral in het aanvankelijke rekenen gelegd. Daartoe worden allerlei objecten, afbeeldingen en rekenleermiddelen ingezet, zoals vingers, munten, dobbelstenen, dominostenen, getalbeelden, telramen, rekenkuben en – staafjes.

• Veelzijdig hoofdrekenen.

Hoofdrekenen wordt op twee manieren opgevat, nl. als rekenen uit het hoofd in tegenstelling tot schriftelijk rekenen, en als rekenen mét het hoofd in tegenstelling tot het automatisch uitgevoerde cijferen. De laatste opvatting heeft te maken met handig rekenen. Kinderen kunnen door gebruik te maken van de getalstructuur op een handige manier in korte tijd een hoofrekensom oplossen. Hoofdrekenen krijgt naast een praktische waarde vooral ook een formele waarde: de kinderen leren daarmee alle belangrijke eigenschappen van de basis-bewerkingen kennen. Hoofdrekenen wordt ook gezien als een prettige en pittige gymnastiek voor de geest.
Als voorbeeld nemen we de som: 24 ½ x 36. Deze som kan op twee manieren:
- 25 x 36 = 100 x 9 – ½ x 36 = 872 òf
- 24 x 36 = 30 x 30 – 6 x 6

• Het inzichtelijk cijferen.

Versluys is de grote vernieuwer van het inzichtelijk leren cijferen volgens een geleidelijke, trapsgewijze opbouw waarin niet rechtstreeks op de eindvorm wordt aangestuurd. Aan de volgende voorbeelden kan men aflezen hoe de cijferleergang van vermenigvuldiging bij hem verloopt: “Vier kinderen krijgen ieder 23 cent. Hoeveel is dat samen?”

• De aard en functie van vraagstukjes

De aard, de functie en de omvang van de opgaven binnen het heuristische rekenonderwijs verschilt aanzienlijk met die van de mechanische methode. Allereerst fungeren ingeklede opgaven nu niet meer louter als ‘toepassingen achteraf’ van wat eerst via het maken van kale sommen is geleerd, maar ze staan eerst en vooral ook aan het begin van de verschil-lende leertrajecten voor hoofdrekenen, cijferen en het rekenen met meetgetallen. Denksommen werden ook gerubriceerd: verhoudingssommen, tijd-afstand-sommen, sommen, waarin de tijd wordt bepaald, waarin een werk kan worden verricht als gelijksoortige krachten samenwerken.

• Systematische opbouw van de leergangen.

Splitsing van moeilijkheden is een algemeen kenmerk van de nieuwe rekendidaktiek die na 1875 werd ingezet. De leergangen zijn gedetailleerd uitgestippeld en opgebouwd volgens toenemende complicering. Het volgende stapje kan pas worden gemaakt als het vorige stapje beheerst wordt. Gebeurt dit niet, dan ontstaan er leemten.

De leertrappen van Versluys (1875)

Deze methode was meer dan welkom in de tot zes klassen uitgegroeide lagere school. Zijn indeling was overzichtelijk voor kinderen en onderwijzers. Zo behandelde de eerste 'trap' de getallen van 1 - 20, de tweede getallen tot 100 en de derde ging tot 1000. Vernieuwend was ook dat Versluys onderwijzers stimuleerde tot het juiste gebruik van hulpmiddelen. Zo ging hij uitvoerig in op een meer verantwoorde toepassing van het 'Russische telraam', dat in bijna alle scholen aanwezig was. De rekenmethode van Versluys werd door andere methodeschrijvers, in steeds weer iets gewijzigde vorm en met andere hulpmiddelen nagevolgd. Sommigen maakten interessante aanvullingen zoals M. Schoonbrood met zijn 'rekenlessenaar'(1898), een kist gevuld met blokjes, plankjes, balkes en blokjes. Eerst leerden de kinderen rekenen met losse eenheden. Tien blokjes konden ingewisseld worden voor één balkje (10 blokjes). Tien balkjes konden weer vervangen worden door een plankje van 100 enz. Dit materiaal leek veel op het MAB-materiaal, dat later door Malmberg werd uitgegeven. Jarenlang is de methode van Versluys in de scholen gebruikt. Langzamerhand ontstonden er nieuwe inzichten, die leidden tot het ontwikkelen en uitgeven van nieuwe methoden voor het rekenonderwijs. We noemen de volgende methoden, die t.z.t. nog nader uitgewerkt zullen worden:

- "De nieuwe Rekencursus" door D. van Pelt
- "Ons rekenonderwijs" door Zernicke

- "Hoeveel en waarom?" door H. Scholte

- "Cursus voor het schriftelijk rekenen" door Bij de Ley en Postma

- "Rekenboekjes voor de lagere school" door P.J. Bouman en J.C. van Zelm

- "Nieuwe rekenschool" door Boosdman en Bos

- "Eerst kunnen, dan kennen" door Jager en Janse 

rekenlessenaar van Schoonbrood (1898)

"Hoeveel en waarom?"

H. Scholte voorzag zijn rekenmethode Hoeveel en waarom (1907) van een rekenbord om het rekenen aanschouwelijk te maken. Van dit zwartgeverfde bord was de voorkant bestemd voor het rekenen tot 20. Links waren twintig pennen aangebracht waarop blokjes of schijven gestoken konden worden. Rechts waren kleine latjes om rekenkaarten die op dominostenen leken op te zetten. Aan de achterzijde konden bewerkingen van 1 tot 1000 aanschouwelijk gemaakt worden.

Rekenboekjes van Bouman en van Zelm

Voor het aanvankelijk rekenen waren in het begin van de twintigste eeuw de boekjes van P.J. Bouman en J.C. van Zelm populair. Daarbij hoorde een teldoos met staafjes, waarop maximaal tien losse kralen geregen konden worden. In de deksel waren gleuven gemaakt om de rijen met kraaltjes neer te leggen. Spelenderwijs leerden de jonge kinderen zo optellen en aftrekken. De boekjes hebben de 47e druk bereikt.

"Cursus voor het Schriftelijk rekenen in de lagere school"

In 1919 verschijnt bij uitgeverij Wolters de "Cursus voor het Schriftelijk rekenen in de lagere school" door L. Bij de Ley en G. Postma. In het voorbericht van de beknopte handleiding zeggen de schrijvers, "dat zij wenschen te breken met het dogma, dat ons schriftelijk rekenen afhankelijk stelt van het rekenen uit het hoofd. Zij hebben een stel rekenboekjes gegeven, waarin de leerlingen gelegenheid krijgen veel te cijferen en waarin weinig behoeft te worden verklaard. Al doende wordt de vaardigheid grooter en het inzicht in de bewerkingen helderder. Kinderen cijferen graag en komen dikwijls tot verrassende resultaten, die het bekoorlijke zouden missen, als ze door den onderwijzer aan de hand werden gedaan.

"Bijzonder in deze methode is, dat de staartdeling op dezelfde wijze wordt aangeboden, zoals dat in het realistisch rekenen thans gebeurt d.m.v. herhaald aftrekken (zie het voorbeeld bij het realistisch rekenen hieronder)

Rekenmethoden van de fraters van Tilburg, uitgegeven door het R.K. Jongensweeshuis.

Tot ongeveer 1885 is de bijdrage van de Drukkerij van het R.K. Jongensweeshuis aan de ontwikkeling van de rekendidactiek gering. Er verschijnen diverse werkjes, maar van een systematische leergang is nauwelijks sprake. Dat veranderde met de komst van "De Kleine Rekenaar" .Deze uitgave is te beschouwen als de eerste rekenmethode van de fraters. Daarna volgen achtereenvolgens nog de onderstaande rekenmethoden van de fraters:

1. "De Kleine Rekenaar" door frater Maternus Wissink (1884)
2. "Rekencursus voor de Lagere School" door fr. Mattheus de Rooy en fr. Xaverius Dijkhoff. (1896)
3. "Rekenen voor 't Leven" door C.P. Vierman (1914)
4. "Noodig Rekenen op de lagere school" door C. Kellinga (1926)
5. "De Nieuwe Vierman" C. Tribosch (1932)
6. "Geef acht!" door frater Rombouts (1947)

"De Kleine Rekenaar"

De auteur geeft geen aanwijzingen voor het verdelen van de leerstof in de zeven 'stukjes' over de leerjaren. Dat wordt aan de leerkracht overgelaten. Wissink wil zich richten op de praktijk van het leven van alledag. In de redactiesommen gaat het over handelaren, die koffie kopen, iemand die een huis verkoopt, een man die geld bij de bank leent enz. Deze methode heeft geen didactische verantwoording. Wel plaatst de auteur hier en daar opmerkingen die betrekking hebben op de behandeling van de leerstof. In het '5e stukje' staat in het voorbericht een aantekening over de manier waarop het delen door breuken op een andere wijze aan bod komt dan op de gewone. De gebruikelijke aanpak is: vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler, dus 3/8 : 2/7 = 3/8 x 7/2 = 21/16.

De werkwijze die de auteur van "De Kleine Rekenaar" volgt, is de weg van 'het gelijknamig maken der breuken en het delen der tellers op elkaar', dus: 3/8 : 2/7 = 21/56 : 16/56 = 21/16. Dit wijst erop dat de auteur geen voorstander is van louter mechanisch rekenen. De methode blijft lang in gebruik. In 1911 wordt 'De Kleine Rekenaar" voor het laatst genoemd in de catalogus van de drukkerij.

"Rekencursus voor de Lagere School"

De getallen worden één voor één behandeld omdat het niet mogelijk is 'eene goede voorstelling van het getal 6 te hebben, als het begrip 5 nog niet helder is geworden'. Eerst wordt gerekend met aanwezige voorwerpen, vervolgens met afwezige voorwerpen en tenslotte met onbenoemde getallen. Feitelijk is deze methode de eerste rekenmethode van het R.K. Jongens-weeshuis, waarin het belang van het aanvankelijk rekenen wordt onderkend, ook al wordt de term dan nog niet gebruikt. De leerstof in de Rekencursus is eenvoudiger dan die in eerdere uitgaven van het RKJW. Meetkundig rekenen wordt niet behandeld. De auteurs verwijzen in verband hiermee wel naar het "Meetkundig Rekenboek voor de Volksschool" van fr. M. de Rooy. De verkoop van deze methode loopt redelijk goed, maar de nieuwe methode blijkt "De Kleine Rekenaar" niet te kunnen verdringen. Beide uitgaven staan naast elkaar in de catalogus en kennen elk hun trouwe gebruikers. De "Rekencursus" blijkt een iets langere adem te hebben. In 1916 wordt deze methode voor het laatst genoemd in de fondslijst van het RKJW.

"Rekenen voor 't Leven"

"De mislukking van de denksommen mag ons niet tot een ander uiterste doen overslaan, nl. tot de miskenning van de waarde van zgn. 'tekst- of redactiesommen' en tot het uitsluitend rekenen met werktuigelijk uitgevoerde becijferingen(....) Neen, de redactiesommen mogen niet uit het rekenonderwijs weg. Daarin zit de aanpassing van de vier rekenkunstjes aan de praktijk van het leven. In deze praktijk komen de aangeleerde en ingeoefende bewerkingen tot hun waarde."

De fraters werken deze inzichten uit in een nieuwe rekenmethode, nl. de methode "Rekenen voor 't Leven", die in 1914 uitkomt. Met de naam van de methode geven de auteurs aan dat ze zich minder willen laten leiden door de theorie van de rekenkunde, maar meer door de eisen die het dagelijks leven stelt. De auteur is C.P. Vierman, achter welke naam vier fraters schuil gaan, nl. C.Willems, A. Verhiel, C.Versteeg en D. Simons.

Opvallend is dat de auteurs bij het aanvankelijk rekenonderwijs de groepeermethode verlaten. Zij kiezen uitdrukkelijk voor de telmethode. Als reden geven zij aan dat gebleken is, dat kinderen moeite hebben met getalbeelden. De visuele waarneming van groeperingen levert bij een aantal kinderen problemen op. Een tweede argument is ontleend aan een andere ervaring uit de praktijk. Zweakke rekenaars die d.m.v. groeperen moeten uitrekenen hoeveel 4 + 3 is, komen volgens de auteurs meestial via tellen tot de uitkomst. De auteursgroep Vierman verwerpt daarom de groepeermethode. Om het rekenonderwijs nog meer aanschouwelijk te maken en de zelfwerkzaamheid van de kinderen te activeren, verschijnt er voor het eerste leerjaar een 'rekenlegboekje' met daarbij een doosje met losser cijfertjes. De leerstof die wordt behandeld, is beperkt. Didaktisch is "Rekenen voor 't leven" een verbetering t.o.v. de eerdere methoden van de uitgeverij. De redactiesommen ademen de geest van de tijd. Naast de bekende koopmanssommen staan er ook typisch katholieke opgaven in de methode. Opgave 47 van het vierde rekenboek luidt bv. als volgt: 'Als gij eerbiedig een kruis maakt, verdient gij 50 dagen aflaat. Doet gij het met wijwater, dan hebt gij 100 dagen aflaat. Hoeveel dagen aflaat verdient Jan elken dag? 4-maal daags maakt hij een kruis met wiojwater, 10-maal zonder' De methode is tot 1933 leverbaar.

"Noodig Rekenen op de lagere school"

Jongensweeshuis een nieuwe rekenmethode, die voor een aanzienlijk deel berust op de nieuwe ideeën, die Govert Grazer zes jaar later theoretisch bepleit. Het is de methode "Noodig Rekenen op de lagere school" van C. Kellinga. Achter deze auteursnaam gaat de bekende lees- en taaldidacticus frater Jozef Reynders schuil. In de uitstekende verantwoording van zijn methode betoogt de auteur dat rekenonderwijs echt 'kinderlijk' moet zijn èn in de werkwijze èn in de leergang. Hij vereen-voudigde en beperkte de leerstof drastisch. Vanaf het begin moesten de kinderen concreet met materialen bezig zijn. Het eerste deeltje van "Noodig Rekenen" is kenmerkend voor de visie van Kellinga. Het boekje bevat allerlei tekeningetjes, maar geen cijfers of sommen. De kinderen moeten eerst handelen, kijken, tekenen en tellen voordat ze aan abstracte cijfers en aan het maken van sommen toe zijn. Ook Kellinga is voorstander van de telmethode boven de groepeermethode. "Noodig Rekenen" is een vernieuwende methode. De rijk geïllustreerde boekjes komen tegemoet aan de kinderlijke behoefte aan aanschouwe-lijkheid en zelfwerkzaamheid. De leergang klimt zeer geleidelijk op in moeilijkheidsgraad en er is veel aandacht voor herhaling. De methode slaat aanvankelijk goed aan op de katholieke scholen in het zuiden. Toch gooien lang niet alle leerkrachten het roer om. Velen vinden de vereenvoudiging van de methode Kellinga te ver gaan; zij volgen liever een meer traditionele weg. Om tegemoet te komen aan de wens van deze gebruikers besluit de uitgeverij tot een bewerking van de 17 jaar oude methode van C.P. Vierman: "Rekenen voor 't leven". De methode "Noodig Rekenen" bleek een te revolutionaire vernieuwing en blijft tot 1939 in het fonds.

"De Nieuwe Vierman"

Oude rekenleermiddelen.

Het rekenrek van C. Kuiper ( de Tuimelaar) 1935

De Tuimelaar is een rekenrek, ontwikkeld door C.Kuiper. Kuiper was onder meer hoofd van de Piersonschool in Zetten en vanaf 1937 tot 1952 inspecteur van het Lager Onderwijs. Hij hield zich intensief bezig met problemen die zich in het onderwijs voordeden en was altijd zoekende naar mogelijke oplossingen.

In de tijd dat hij schoolhoofd was, zocht Kuiper al naar mogelijkheden om het onderwijs beter af te stemmen op de verschillen tussen leerlingen. Dit zowel op het gebied van de didactiek, als in de organisatie van het leerproces. Het strak klassikale systeem had volgens hem nu eenmaal beperkingen. Kuiper ontwikkelde verschillende leermiddelen, bijv. voor de werkwoordspelling, maar vooral ook voor het aanvankelijk rekenen. De Tuimelaar, zijn rekenrek, kwam rond 1935 uit. Het gold al gauw als een alternatief voor het toen nog alom gebruikte telraam. (het Russische telraam met de 10 rijen van 10 kralen). Het rekenrek van Kuiper was bedoeld voor het rekenen van 1 tot 100. Het rekenrek maakte het mogelijk te laten zien, ‘aanschouwen’, hóe je sommen uitrekent.

De werking van de Tuimelaar:

Het rekenrek vraagt zeker om toelichting. Wat was daar nu de bedoeling van? En hoe werd ermee gerekend? Op het brekenrek zijn staven aangebracht met daaraan bevestigd kantelbare plankjes; vandaar de naam Tuimelaar. Aan de linkerkant de tientallen en aan de rechterkant de eenheden. Aan de randen liggen de plankjes die niet gebruikt worden. De achterzijde van de plankjes is blauw geverfd.

Aan de hand van de voorbeeldsom 45 – 23 leggen we de werking hieronder uit

- Links 4 (tiental)plankjes, rechts 5 éénheden: 45

- Links 2 (tiental)plankjes omtuimelen, rechts 3 eenheden omtuimelen 23

- Onmiddellijk valt de uitkomst af te lezen: 22

"Geef acht" (1947)

Zoals we hierboven al lazen, publiceerde frater Rombouts in 1933 onder het pseudoniem 'Govert Grazer' zijn "Rekenmethodiek en moderne psychologie" . Hierin hanteerde hij een psycho-logische benadering van het rekenonderwijs. Hij pleit op leerpsychologische gronden voor een synthese van de groepeer- en de telmethode bij het aanvankelijk rekenen. M.b.t. de hoofdbewerkingen merkt Rombouts op, dat alle bewerkingen ingeleid en aangeleerd moeten worden door doen, door handelen. Abstract begrip van de hoofdbewerkingen ontstaat via het concretiseren. Leren optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kunnen kinderen alleen leren door het met concrete dingen te doen: bijvoegen, afnemen, zoveel maal nemen en verdelen. Aanschouwelijkheid is niet voldoende , de kinderen moeten handelingen verrichten. Rombouts pleit ook voor de aansluiting bij de belevingswereld van het kind, voor een realistische context waarin het kind zich kan inleven. Hij verwerpt het werktuigelijk instampen zoals "Rekenen voor 't leven" en "De Nieuwe Vierman" dat propageren.

Wat het aanvankelijk rekenen betreft, is "Geef acht" een structuurmethode. Ze verenigt de pluspunten van de telmethode met die van de groepeermethode. De methode gaat uit van de hoeveelheid (Gestalt). De leerlingen bestuderen die hoeveelheid naar omvang, splitsbaarheid en opbouw. Pas daarna komt het inoefenen van de rekenfuncties aan bod. Bij het voortgezet rekenen is de invloed van de denkpsychologie direct herkenbaar: Het denkproces verloopt van het aanschouwelijke, via het schematische, naar het abstracte. Het gaat er bij vraagstukjes om, dat kinderen oplossingsmethoden leren hanteren en geen kunstjes. Het verdient aanbeveling om rekenoefeningen te groeperen rond 'belangstelingscentra' of 'contexten' als: bij de kruidenier; onze kippen; de groentenboer; de bakker; de slager; de visboer; op het postkantoor enz.

Gezien de opvattingen van Rombouts put hij in de methode uit het katholieke van alledag met als motivatie: "Waarom niet even een vrome gedachte gevlochten zelfs door onze materiële rekenlessen? Er zijn wel meer redactiesommen over biddende mensen, weesgegroeten, loemen en bloemruikers te bedenken. Ga echter niet te ver en blijf natuurlijk, d.w.z. ongezocht.". De methode doet het goed. Kennelijk is de tijd nu rijp voor 'de nieuwe richting'. Er komen 12 herdrukken.

Deze bladzijde uit het eerste boekje van "Geef acht" laat zien hoe ook het rekenonderwijs doortrokken moet zijn van de eigen katholieke sfeer

"Fundamenteel rekenen" (1936)

Het koopmansrekenen

In de rekenmethoden in de vorige eeuw (tot midden jaren 80) werd het koopmansrekenen aangeboden: veel rijtjes sommen, veel inprenten, gebruik van rekentrucs, weinig inzicht, weinig context in de rekenopgaven. Vraagstukjes waren erg moeilijk en waren alleen geschikt voor de betere rekenaars. Bekende rekenmethoden, die in de jaren ’60 en ’70 op veel scholen werden gebruikt, waren: "De Grondslag", “Functioneel Rekenen” en “Naar Aanleg en Tempo.

"Cuisenaire methode - de getallen in kleuren", door Emile- Georges Cuisenaire (1951)

Dit was een doos met gekleurde staafjes. Het was en hulpmiddel voor het ontwikkelewn van het getalbegrip en het maken van optel- en aftreksommen. Elk getal van 1 tot en met 10 wordt weergegeven door een houten staaf in een bepaalde kleur en van een bepaalde lengte (in verhouding met het getal). De kortste, eigenlijk kubusjes, waren wit; de langste oranje. Er pasten dus tien witjes naast één oranje staaf of twee geeltjes.

Differentiatie naar tempo en niveau

"Naar aanleg en tempo", door H.J. Lugtmeijer en J. Boers (1955)

Vanaf deeltje 2 (klas 2) zijn er A- en B-taken. De B-taak komt in het begin tegemoet aan het tempoverschil ; in de hogere deeltjes komen de B- sommen tegemoet aan het niveauverschil van de leerlingen. De B-taak is bestemd als extra werk voor de goede leerling en moet in dezelfde tijd gemaakt worden. In deel 8 verschijnt de C-taak, die gericht is op het toela-tingsexamen van de middelbare school. De auteurs spreken de wens uit, dat deze methode voor de gebruikers de mogelijkheid biedt, te breken met het starre klassikale systeem, waar de leerlingen ondanks hun verschil in begaafdheid, gedwongen worden stof te verwerken, die vaak boven of beneden hun kunnen ligt.

"Naar Zelfstandig Rekenen", door R.H. Zandvoort, H.M. Venekamp en N. Kuipers. (1955)

Ook in 1955 verscheen er een methode op de markt, die uitging van zelfstandig rekenen en differentiatie naar tempo, nl. de methoden "Naar Zelfstandig Rekenen", door R.H. Zandvoort, H.M. Venekamp en N. Kuipers. Deze methode is tot in de jaren 90 op vele lagere scholen gebruikt. De leerlingen werkten zelfstandig de boekjes door en de inbreng van de leerkracht was minimaal. Dit zelfstandig werken was alleen maar een organisatiesysteem; de taken, de opdrachtkaarten en het leerboek bepaalden in hoofdzaak het tempo en de inhoud van de leerroute die de leerlingen moesten afleggen. De inbreng van de leerkracht beperkte zich voor het grootste deel tot organisatorische begeleiding en correctie. Van didaktische begeleiding was geen sprake, omdat hij zijn aandacht over veel individuele leerlingen dan wel verschillende groepjes moest spreiden. Er was geen sprake van interactie met de klas, waarin naast de individuele leerling ook de groep en de leraar een belangrijke inbreng hadden in het onderwijsleerproces. Die interactie tussen leerkracht en groep is van grote waarde voor het leerproces en zal dan ook bij het realistisch rekenen geheel terugkeren.

In het Voorbericht van de rekenboekjes van 'Naar Zelfstandig Rekenen' staan de volgende zes grondbeginselen van de methode:

1. Door aanschouwing en doorleving wordt het kind tot begrip gebracht.
2. Vanaf het vierde deeltje staat er een toelichting voor de leerling bij elke taak, waardoor de begaafde leerling in zekere mate onafhankelijk van de leerkracht wordt, terwijl de minder begaafde er althans enige steun aan heeft.
3. De leerstof wordt verdeeld in taken, waardoor makkelijker minimumopdrachten gegeven kunnen worden.
4. Vanaf het vijfde deeltje is de toelichting per taak zodanig opgesteld, dat de meeste leerlingen door kunnen werken en ontstaat er als gevolg daarvan een losser klassen-verband.
5. De verantwoordelijkheid van het kind wordt geleidelijk vergroot, waardoor het tot meer zelfstandigheid gebracht wordt.
6. De leerkracht wordt door controle-oefeningen in staat gesteld, zich ervan te overtuigen, dat de gemaakte stof ook het geestelijk eigendom van de kinderen is geworden.

Opm. Het eerste grondbeginsel is alleen op de eerste drie deeltjes 'Jongleren met getallen' van toepassing. Het zesde uitgangspunt heeft in de laatste versie van de methode geresulteerd in gedifferentieerde weer- en meertaken voor na de controletoets.

In de jaren 1970 kwam er een nieuwe versie van de methode uit en in 1978 kwam de derde, geheel vernieuwde, versie uit, geschreven door N. Kuipers en E. De Groot. De nieuwste versie ging enigszins uit van het principe van beheersingsleren: na een takenblok volgt een controletoets A ; is de toets voldoende, dan mag de leerling werken uit het 'meerboek'; is de toets onvoldoende, dan moet de leerling uit het 'weerboek' werken, waarna controletoets B wordt gemaakt.

Malmbergs Rekendoos voor het aanvankelijk rekenonderwijs (1960)

Dit is een rekendoos voor kinderen van de eerste klas uit de jaren ’60 van de vorige eeuw.
Met deze doos konden de kinderen het aanvankelijk rekenonderwijs beoefenen langs de lijn: van concreet (plaatjes) via schematisch (blokjes en stokjes) naar abstract (cijfers). De doos bevat veel cijferkaartjes en – en + tekens. (zie de foto).
Kinderen konden er individueel of in tweetallen mee aan het werk. De kinderen moesten rustig de overgang maken van concreet naar abstract. Dit principe wordt tegenwoordig nog steeds toegepast in het rekenonderwijs.
Daarnaast zat er een dominospel (op kaartjes) in de doos en een rekendomino (rekenslang)
Met de dobbelstenen kon een som worden gegooid en er kon ook gerekend worden met plastic geld.
Een mooi en goed leermiddel van uitgeverij Malmberg.

"Jongleren met Getallen"

In 1969 verschijnt er een pakket voor aanvankelijk rekenonderwijs onder de titel "Jongleren met Getallen". Het pakket bestaat uit drie deeltjes: deel 1 en 2 voor klas 1 en deel 3 voor de eerste helft van klas 2. De boekjes vormen deel 1, 2 en 3 van de methode "Naar Zelf- standig Rekenen", maar kunnen ook bij elke andere rekenmethode gebruikt worden. De kleurige boekjes behandelen de getallen 1 t/m 20 en hun bewerkingen op een aanschouwelijke manier van concreet (afbeeldingen) naar schematisch (stippen) naar abstract (cijfers). In deeltje 1 wordt veel gebruik gemaakt van splitsen van getallen. De methode wordt op veel scholen gebruikt voor het aanvankelijk rekenonderwijs naast een andere methode voor de klassen 2 t/m 6

"Niveaucursus Rekenen" van H.M.M. Vossen en Chris S. Jansen (1966)

Over het zelfstandig werken in bovengenoemde methoden:

Tot in de tachtiger jaren van de vorige eeuw werden de mechanische rekenmethoden "Niveau Cursus Rekenen" en "Naar Zelfstandig Rekenen" op veel lagere scholen gebruikt. Leerlingen werkten zelfstandig de boekjes door en de inbreng van de leerkracht was marginaal. Toen eenmaal de realistische methoden werden ingevoerd, werd het zelfstandig werken in eigen tempo vervangen door klassikale interactie. Alle leerlingen van de klas kregen op hetzelfde moment dezelfde stof aangeboden. Natuurlijk werd er gedifferentieerd in leerstof en in oplossingsniveau, maar er werd vooral ook klassikaal nagedacht over reken-wiskundige vraagstukken. Al snel bleek, dat de interactieve realistische methoden veel hoger scoorden op de PPON dan de mechanische methoden.

* PPON = Periodiek Peilingsonderzoek van het Onderwijsniveau.

Cijferen met grote getallen.

De methode "Nieuw Rekenen", door B. Bruinsma e.a. (1969)

Nieuw Rekenen zet zich sterk af tegen het 'vermechaniseerde schematiserende rekenen'. Steeds wordt naar middelen gezocht om het gevreesde 'vercijferen' te voorkomen. Eén van die middelen is het schattende rekenen via opgaven als: 45 x 0,36 = dat is meer dan 12, want .................; 45 x 0,36 = dat is minder dan 20, want....... . Tot de tweede helft van groep 5 bestaan de rekenboekjes uitsluitend uit opgaven voor hoofdrekenen. Daarna volgen het cijferende optellen en aftrekken, en in groep 6 het cijferende vermenigvuldigen en delen.

Er wordt in "Nieuw Rekenen" ook gedifferentieerd: vanaf groep 5 zijn de taken in A-, B- en C- rubrieken onderverdeeld, die bestemd zijn voor alle kinderen, zwakke rekenaars en goede rekenaars.

Voor de goede orde dient nog vermeld te worden, dat tegelijk met "Nieuw Rekenen" ook de functionele methode "Rekenen voor de Basisschool" (Van Gerven, 1969) verscheen - een methode die het beste van de voorgaande functionele methodes in zich verenigde. Maar mede door de turbulente ontwikkelingen op de methode-markt rond 1970 bleef de oplage ervan dusdanig beperkt dat de uitgever haar al binnen tien jaar uit het fonds moest halen.

Hans Freudenthal, de vernieuwer van het rekenonderwijs.

Hans Freudenthal (1905 - 1990) was een Duits-Nederlandse wiskundige en pedagoog die bijdragen leverde aan de topologie en de filosofie, historie en theorie van het wiskundeonderwijs. Hij is de grondlegger van het realistisch rekenen.

Freudenthal bezocht het gymnasium in zijn geboorteplaats Luckenwalde, waar hij een brede belangstelling toonde voor zowel exacte onderwerpen als voor taal, literatuur en poëzie. Hij studeerde vanaf 1923 aan de Universiteit van Berlijn, waar hij in februari 1930 bij Heinz Hopf promoveerde op een proefschrift getiteld: "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen". In 1927 leerde Freudenthal L.E.J. Brouwer kennen, die in Berlijn colleges gaf. Op diens uitnodiging ging hij in november 1930 naar Amsterdam en werd hij medewerker bij Brouwer en al spoedig lector. Ondertussen studeerde hij enige tijd aan de Sorbonne in Parijs.

In 1937 bewees hij de suspensiestelling van Freudenthal. Spoedig na de oorlog in 1946 werd hij hoogleraar zuivere en toegepaste wiskunde aan de Rijksuniversiteit Utrecht, een leerstoel die hij tot zijn emeritaat in 1975 bekleedde. Later concentreerde Freudenthal zich, mede onder invloed van zijn vrouw - die pedagoge en grondlegster van het Jenaplanonderwijs in Nederland was - op wiskundige didactiek. Dat leidde ertoe dat hij in 1971 het Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs (IOWO) oprichtte. Dit instituut is een expertisecentrum voor het reken- en wiskundeonderwijs en doet onderzoek naar alle aspecten daarvan. In 1991 werd het omgedoopt in het Freudenthal Instituut. Het doel is het reken- en wiskundeonderwijs op alle niveaus te verbeteren, vooral in het basis-, voortgezet- en beroepsonderwijs. Freudenthal was een universeel geleerde, die ruime kennis had van onderwerpen ook buiten de wiskunde. Zo bestudeerde hij onder meer Sanskriet, was een kenner van literatuur en poëzie en ontwikkelde hij een universele taal, Lincos, voor communicatie met mogelijk buitenaardse beschavingen.

In 1951 werd hij benoemd tot lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW). Hij ontving eredoctoraten van de Humboldt-Universitätte Berlijn (1960), de Friedrich-Alexander Universität te Neurenberg (1972), de Vrije Universiteit te Brussel (1974), York University te Toronto (1974) en de Universiteit van Amsterdam (1977). Hij was rector magnificus aan de Universiteit Utrecht in het studiejaar 1963-1964. In 1984 ontving hij de Gouden Ganzenveer. Hans Freudenthal overleed op 85-jarige leeftijd in de vroege herfst van 1990, zittend op een bankje in een park in de stad Utrecht, waar hij 's morgens altijd wandelde.

Operatoir Rekenen

In 1977 verkoopt de uitgever 34.000 werkblocs voor klas1 en 21.000 werkboekjes voor klas 4 als indicatie voor de mate van succes. Van 1980 tot 1983 verschijnt een tweede versie. De methode ondergaat daarmee een totale gedaanteverandering. De belangrijkste inhoudelijke veranderingen betreft de invloed van de verworvenheden van het bekende Wiskobas-project. Dit project van het Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs (IOWO) in Utrecht ontwikkelde een geheel eigen reken-wiskunde methodiek. Voor de herziening van de onderbouw van Operatoir Rekenen betekent dit o.m. dat met zgn. modellen wordt gewerkt. Deze modellen vormen een didaktische tussenfase om de afstand tussen concrete werkelijkheid en de abstracte notities van het rekenen te verkleinen. De methode doet het goed in Nederland en bereikt in 1987 een hoogtepunt. (63.200 eerste-klassers werken met de methode). De methode heeft een brug geslagen naar het realisch wiskundig rekenonderwijs.

Op deze bladzijde wordt gebruik gemaakt van twee modellen: het verzamelingenmodel en getallenlijnmodel (werkboekje 5, leerjaar 1)

Het realistisch rekenonderwijs.

In de jaren 80 schakelden de meeste basisscholen over van koopmansrekenen naar realistisch rekenen. Bij realistisch rekenen wordt er meer gerekend met realistische situaties. Ook is er meer aandacht voor inzicht, handig rekenen, kolomrekenen, zelfstandig oplossen van vraagstukjes en is de didaktiek anders. Ook zijn er meer oplossingsmethoden mogelijk i.p.v. één oplossing, die door de leerkracht wordt aangegeven. Ook het wiskunde-onderwijs in het Voortgezet Onderwijs sluit beter aan bij het realistisch rekenen. In mijn lespraktijk heb ik ervaren dat kinderen rekenen leuker zijn gaan vinden en ikzelf ook. Kinderen krijgen veel meer inzicht in rekensituaties. Ook de prestaties van de kinderen verbeterden. Het zelfoplossend leren is wel belangrijk, maar de instructie door de leerkracht blijft wel centraal. Eigenlijk is in het realistisch rekenen alles verenigd, waar voorgaande methoden slechts enkele aspecten centraal stelden: duidelijke instructie, interactie van de leerkracht met de klas en tussen leerlingen onderling, samenwerken, zelfstandig werken, differentiatie naar tempo en niveau, kolomrekenen, inzicht en rekenen n.a.v. de werkelijkheid. En wat de inhoud betreft, komen de volgende rekenaspecten aan de orde: hoofdrekenen, handig rekenen, cijferen, breuken, meten, tijd , geld, vraagstukjes. De eerste methoden, die zich op het realistisch rekenen richtten, waren Wiscobas en Operatoir Rekenen. Al spoedig brachten vele uitgevers realistische rekenmethoden op de markt. (zie afbeelding)

kolomrekenen - klik hier

Bij kolomrekenen wordt het lenen en inwisselen schematisch weergegeven, hetgeen op de abacus concreet gebeurt. Als de abacus is geïntroduceerd, zijn kinderen al gauw in staat om over te gaan op de schematische schrijfwijze. En wie de abacus langer wil gebruiken, mag dat. Kinderen, die langer met concreet materiaal willen werken, krijgen daar de gelegenheid toe. Wie het schematisch wil doen, mag dat ook. Wie op den duur het lenen en inwisselen uit het hoofd kan, mag dat ook. Dit heeft alles te maken met de verschillende manieren, waarop kinderen leren en met het respecteren daarvan door de leerkracht. Ook het vermenigvuldigen wordt inzichtelijker aangeleerd, voordat dit geautomatiseerd is. Om hier voorbeelden van te zien: klik hier.

Klik HIER om het verhelderende artikel te lezen van Adri Treffers en Marja van den Heuvel-Panhuizen over het Rekenen van toen en nu. Let hierbij vooral op het verschil in resultaten van de Ankersommen bij de afnamen in 1987 en 2004.

Er was echter ook veel kritiek op deze methoden. Er zijn scholen, die toch weer 'teruggegaan' zijn naar het koopmansrekenen, omdat zij vonden dat het automatiseren in de realistische methoden te weinig aan bod kwam. Een belangrijk verschil tussen koopmansrekenen en realistisch rekenen is de staartdeling. (zie hieronder).

Klik hier voor de brochure "Rekenen vroeger en nu"

Terug naar het ‘koopmansrekenen’?

Hoe zit dat nu met de discussie over de meest gewenste rekenmethode voor het basis-onderwijs? Hebben de auteurs van ‘De gelukkige rekenklas’ en de Stichting Goed Reken-onderwijs gelijk dat de schuld voor het slechte rekenonderwijs ligt aan de didactiek van het realistische rekenen? Of weten de deskundigen van het Freudenthalinstituut, zoals professor Van Maanen, het beter met hun bewering dat het probleem komt door de ouders die zich niet in het realistische rekenen herkennen omdat het rekenonderwijs van hun kind anders is dan wat ze zelf hebben geleerd (het ‘AD’, 22 oktober 2008)? Van Maanen: “Ze zouden zich iets meer in het rekenonderwijs moeten verdiepen.” Hij waarschuwt wel dat dit misschien niet de methode is waarmee zwakke leerlingen uit de voeten kunnen. Uit ander onderzoek is namelijk gebleken dat leerlingen met rekenproblemen vooral baat hebben bij de traditionele methode. Dat is ook de mening van Dr. Hans van Luit die in de bespreking van ‘De gelukkige rekenklas’ zegt dat de waarheid wel in het midden zal liggen. Waarschijnlijk is de gelukkige rekenaar vooral gebaat bij een methode die past bij zijn cognitieve leerstijl. En die is niet bij elke leerling gelijk. Uit onderzoek wordt steeds duidelijker dat bij diverse groepen leerlingen zoals bijvoorbeeld bij de leerlingen met ADHD op biologische gronden de probleemoplossende vaardigheden zich veel later ontwikkelen dan bij het gemiddelde kind. En laat nu net die vaardigheden het doel zijn van het realistische rekenen. Voor hen dan toch maar terug naar het ‘koopmansrekenen’

Hieronder staat het artikel afgedrukt, dat J.E.H. van Luit heeft geschreven in het maandblad Balans van oktober/november 2008, waarin hij het boek “De gelukkige rekenklas” bespreekt.

‘Koopmansrekenen’, of toch maar niet?

In ‘De gelukkige rekenklas’ staat de kritiek op de huidige realistische rekenmethodes centraal. De samenstellers constateren dat het met het rekenen in Nederland slecht is gesteld en beargumenteren dat de nieuwe methodes met het realistisch rekenen niet de verbetering hebben gebracht die ervan werd verwacht. Het tegendeel is volgens hen het geval. Het nieuwe rekenen moet volgens de samenstellers op haar schreden terugkeren naar het oude vertrouwde ‘koopmansrekenen’, zoals de meesten van ons van boven de leeftijd van veertig jaar hebben leren rekenen. Het boek bestaat uit zo’n tweehonderd pagina’s en is verdeeld in vier delen met in totaal 24 hoofdstukken. Diverse auteurs hebben er aan meegewerkt. Het eerste deel bestaat uit vier hoofdstukken en schetst de situatie van het rekenonderwijs anno 2008. Een hoofdstuk genaamd ‘Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen’ spreekt voor zich. De boodschap is dat de rekendidactiek van Freudenthal en volgers past in de veel bredere trend in het onderwijs van het ‘constructivisme’ waarin de leerling zijn eigen leerproces en in dit geval zijn eigen rekenproces construeert. Een principe dat ook wel het zelfontdekkend en zelfgestuurd leren wordt genoemd.

Freudenthal

Kenmerkend voor de verschillende stromingen binnen dit constructivisme is de kritiek op het traditionele ‘instructiemodel’, waarin de docent instrueert en de leerlingen geïnstrueerd worden. Dat zou maar slaafse leerlingen opleveren. Volgens de redacteuren van ‘De gelukkige rekenklas’ heeft Freudenthal een aantal wezenlijke denkfouten (onterechte generalisaties) gemaakt. Door de ervaringen met kleinzoon Bastiaan en andere slimme kinderen als model te nemen voor het gemiddelde kind, heeft hij onvoldoende oog gehad voor de problemen van zwakke rekenaars. Het ‘geleide heruitvinden’ van de slimme rekenaars werd zo van uitzondering tot norm verheven. De boodschap van het boek is duidelijk: aan deze misvatting moet een eind worden gemaakt. Geen competentie en probleemoplossende vaardigheden stimuleren zonder een gedegen basiskennis. Want kennis is de basis van rekenvaardigheid. Ter illustratie van deel 1 neem ik hoofdstuk 2 van Van de Craats. Hij is een vervent tegenstander van het huidige rekenwiskundeonderwijs en beschrijft door middel van drie mythen wat er mis is met het huidige rekenwiskundeonderwijs:

• eerst begrijpen, dan oefenen,

• leerlingen vinden rijtjes sommen vreselijk en

• het is goed als leerlingen meerdere oplossingsstrategieën leren hanteren en zelf kunnen kiezen welke methode ze bij een concrete opgave willen gebruiken.

Van de Craats is het met deze opvattingen dus niet eens en heeft ook een oplossing voorhanden: herstel systematisch oefenen in ere, één methode per bewerking, doe ‘handig rekenen’ de deur uit, verbied ‘kolomsgewijs rekenen’ en noem cijferen weer gewoon rekenen. Voor ouders van kinderen met rekenproblemen of dyscalculie is deel 1 waarschijnlijk voor een groot deel herkenbaar. Als hun kind remedial teaching krijgt, zullen diverse van de in dit deel aangereikte handvatten voor bijstelling van het rekenonderwijs reeds worden gebruikt.

Geloof of wetenschap

Het tweede deel van het boek bestaat uit twaalf hoofdstukken waarin het gedachtegoed van Freudenthal en opvolgers nader wordt bekeken. In hoofdstuk 5 gaat Biervliet in op een belangrijk kritiekpunt aangaande de realistische vakdidactiek. Hij gaat in op het verschil tussen wetenschap en geloof. Geloof (in het realistisch rekenen) is een blind vertrouwen in de waarheid van iets op basis van de veronderstelling of overtuiging dat iets waar of niet waar is. Een bewering wordt dus als waarheid geaccepteerd, zonder adequaat bewijs. Daartegenover staat de wetenschap als het systematisch geordende geheel van het weten en van de regels waarmee verdere kennis verkregen en getoetst kan worden door theorieën met behulp van experimenten of logische analyses te onderzoeken. De boodschap mag duidelijk zijn: het realistisch rekenen is niet op wetenschappelijke basis gestoeld en mist daardoor de noodzakelijk geachte empirie (bewijs op basis van wetenschappelijk onderzoek met experimentele en controlegroepen). In hoofdstuk 8 gaat Biervliet zelfs zo ver dat hij een verband vermoedt tussen de teruglopende resultaten van Vlaamse kinderen in PISA 2006 ten opzichte van PISA 2003. PISA is een vergelijkend onderzoek naar onder andere rekenvaardigheid waaraan kinderen uit 41 landen verspreid over de wereld deelnemen. Hij legt een verband tussen het opkomend realisme in Vlaanderen de laatste jaren en het verloren gaan van de koppositie van de Vlaamse 15-jarige kinderen ten opzichte van kinderen uit andere landen.

Dyscalculie

In hoofdstuk 10 komen kinderen met dyscalculie aan bod. In een interview met drie remedial teachers wordt het onderwijs aan zwakke rekenaars getypeerd. Duidelijk is dat de drie geïnterviewde remedial teachers de inzichten over de wijze waarop leerlingen met dyscalculie het beste kunnen worden geholpen, en die de afgelopen jaren veelvuldig in Balans Magazine zijn geventileerd, omarme. En inderdaad, die principes zijn grotendeels niet gebaseerd op vakdidactische principes, maar op uitgangspunten ontleend aan de cognitieve leer-, handelingsleer- en gestaltpsychologie.

Hoofdstuk 13 van Walda en Braams sprak mij het meest aan. Dit hoofdstuk over ‘rekenen met geheugenproblemen’ is gebaseerd op empirie en snijdt hout. Het maakt duidelijk waarom sommige kinderen niet kunnen profiteren van realistisch rekenwiskundeonderwijs en een andere benadering (instructie) en andere methode behoeven. Dit deel biedt ouders vergelijkbare informatie als deel 1. Het is op zich veelal geen praktische informatie, maar een uitwerking van standpunten die in het onderwijs aan zwakke rekenaars veelal reeds gemeengoed zijn.

Niks mis met stampen

Het derde deel ‘De klas en de kinderen’ bestaat uit zeven hoofdstukken. De belangrijkste boodschap van dit deel is onder andere de herinvoering van de litanie van het opdreunen van tafels. Daar is inderdaad niets mis mee! Ook het kolomsgewijs rekenen krijgt er in dit deel opnieuw van langs. Als het aan Milikowski en Milikowski (hoofdstuk 20) ligt, wordt de staartdeling weer in ere hersteld. Dit deel biedt weinig inhoudelijke informatie voor ouders. Het betreft meer een algemeen pleidooi voor terugkeer naar het ‘oude’ rekenen op schoolniveau. Deel 4 van het boek gaat over de conclusies en aanbevelingen. Daaraan kunnen volgens de redacteuren van het boek vijf aanbevelingen worden ontleend:

• onderwijsvernieuwing moeten worden gebaseerd op effectonderzoek en niet op idealen,

• de overheid stelt de eindtermen vast en de inspectie bewaakt de grote lijn,

• geen uniformiteit in methodes,

• geen automatisme in toewijzing van onderzoeksgelden,

• terug van algemene vaardigheden naar vakinhoud.

Al met al geen aanbevelingen waar ouders veel mee kunnen, wel aanbevelingen die bedoeld zijn om het rekenwiskundeonderwijs op een ander spoor te krijgen. Waar volgens de redactie het boek bedoeld voor een zeer brede doelgroep:leerkrachten, onderwijspsychologen, politici,schoolbegeleidingsdiensten en, natuurlijk,ouders met schoolgaande kinderen, mis ik node de vakdidactici, uitgevers eninspectie die (mede)verantwoordelijk zijnvoor dat nieuwe rekenen. Zij zijn de eersten die zich iets zouden moeten aantrekken van de kritiek die er wordt geventileerd.

Ten slotte

Afsluitend kom ik tot de volgende bevinding. Volgens mij is kritiek op het realistisch rekenonderwijs op genuanceerde wijze gerechtvaardigd. Ik beweer altijd dat voor 70 procent van de kinderen het niet uitmaakt wat voor soort rekenonderwijs je ze voorzet, ze leren toch wel rekenen. Ik maak me al jaren druk om de overige 30 procent, maar in dit boek wordt die 30 procent wel heel erg opgerekt. Ik mis met andere woorden de empirische evidentie waarmee in dit boek de vloer wordt aangeveegd met het realistisch rekenwiskundeonderwijs. De zorgen die zijn geventileerd zijn overduidelijk, maar de waarheid aangaande wat goed rekenonderwijs is ligt volgens mij ook hier ergens in het midden. En waarom dit boek nu voor ouders bedoeld is, is me niet geheel duidelijk geworden. Hier en daar worden ouders inderdaad aan-gesproken, maar dan vooral als ouders die het rekenen zelf op een andere manier hebben geleerd dan hun kinderen het vandaag de dag krijgen aangeboden. Ouders worden opgevoerd als ervaringsdeskundigen die zich met de auteurs verbazen over al het vreemde van het huidige rekenwiskundeonderwijs. Wellicht dat ouders met dit boek in de hand op de school van hun kind kunnen aankaarten dat het anders moet, maar veel kans van slagen zullen ze daarmee niet hebben. Scholen, leerkrachten, methodemakers, schoolbegeleiders en inspecties, die op de kwaliteit van het rekenwiskundeonderwijs toezien, hebben het realistisch rekenen omarmd en het is aan de wetenschap alternatieven aan te reiken waar een minderheid van de kinderen in het rekenonderwijs behoefte aan heeft. Want juist zwakke rekenaars zijn gebaat bij een alternatieve manier van rekenen. Vooral voor kinderen met dyscalculie zijn de laatste jaren alternatieven (instructiewijzen en programma’s) ontwikkeld en deze hebben hun weg naar de praktijk (van de remedial teaching) gelukkig al gevonden.

De gelukkige rekenklas.

T. Braams & M. Milikowski (Red.)

Uitgeverij Boom, Amsterdam

ISBN 978 90 8506 615 6

Klik hier voor de huidige rekenmethodes